Réponse à Vincensini

Merci pour votre réponse . Si l'analogie euclidienne vous a aidé à éclaircir les choses, je ne saurais trop vous recommander d'approfondir cette analogie LE PLUS que vous pouvez . C'est plus qu'une analogie "ordinaire" ( car, mathématiquement, c'est très semblable)  . Cette "analogie" est très utile pour éclaircir de nombreux aspects QUALITATIFS de la relativité restreinte. Par contre les conclusions QUANTITATIVES pourront être différentes . Un exemple illustrera mon propos :

Dans un espace métrique euclidien, entre deux  points fixés, c'est la géodésique qui réalise le MINIMUM de distance ( le "plus court chemin entre deux points " ) . Dans un espace métrique minkovskien, la "distance" définie par la métrique est la variation de temps propre et une géodésique réalise le MAXIMUM de la "distance" entre deux points fixés . Pas de soucis à ce sujet, ces propriétés se démontrent ( d'ailleurs, pour ces DEUX propriétés, on peut mettre sur pied deux démonstrations "jumelles", bâties sur les même principes mathématiques, exactement ) . Donc dans les deux cas euclidien et minkowskien les aspects QUALITATIFS sont semblables ( la géodésique réalise un EXTREMUM de la distance entre deux points fixés ), par contre la nature QUANTITATIVE de l'extremum en question sera opposée ( minimum dans un cas, maximum dans l'autre ) .

L'analogie euclidienne est également utile pour comprendre le rôle joué par la transformation de Lorentz dans toutes ces histoires . Une telle transformation de coordonnées est une transformation ISOMETRIQUE pour la métrique de Minkowski, c'est à dire qu'elle CONSERVE l'expression du tenseur  métrique .  En effet, lorsqu'on change de système de coordonnées, l'expression d'un tenseur métrique doit être recalculée, et en général ce ne sera plus la même ...  SAUF si la transformation de coordonnées est ISOMETRIQUE justement .
 

Faisons alors l'analogie euclidienne (2D ou 3D, mais 2D est plus simple pour commencer )  : quelle est la transformation qui va jouer un rôle analogue a la tr. de Lorentz ? C'est la rotation, bien sûr ! Une rotation conserve le tenseur métrique euclidien ( Dans la littérature, vous trouverez souvent une formulation du  genre "une rotation appliquée aux coordonnées conserve la distance", je n'aime pas cette formulation pour des raisons que je ne détaillerai pas ici ) .

On peut donc s'inspirer de l'illustration 2D du texte de David Louapre, en effaçant les segments de courbes ( et de droite ) et en illustrant à la place deux axes de coordonneés horizontal et vertical appelés "X "et "T"( oui "T", histoire de faire penser à  la coordonnée "temps" présente dans le cas minkowskien ... ) . Le nouveau système de coordonnées, mettons X' et T' , sera obtenu par la rotation d'un angle donné appliquée aux axes de coordonnées X,T . Prenons un point origine commun "O" pour faire simple, les nouveaux axes OX', OT' seront chacun "inclinés" par rapport aux anciens OX,OT . Si, par la pensée, on attribue à T et T' les rôles de "dimension temps" dans leurs systèmes respectifs, on voit que la simultaneïté, c.a.d. la notion de "iso-temps" sera un "iso-T ( soit une droite horizontale ) dans l'ancien "repère", et un iso-T' ( c.a.d une droite inclinée ) dans le nouveau repère . La "simultaneïté"est donc relative au "référentiel" .

Bien entendu, on peut faire tourner la page autour du point O de façon que les nouveaux axes soient horizontal/vertical et les anciens soient inclinés, histoire d'illustrer la SYMETRIE du probleme . Si on a pris soin de dessiner une courbe d'égale distance euclidienne à l'origine O, autrement dit ... un cercle, ce cercle sera globalement inchangé par la rotation de la page autour de O .

Justement, cette dernière remarque illustre les limites ... GRAPHIQUES ( mais non mathématiques) de l'analogie euclidien/minkowskien  . Si on prend un cas minkowskien simplifié avec une seule dimension spatiale, mettons X ( on n'a alors que 2 dimensions : X et T ) . On peut toujours dessiner sur une page deux axes orthonormés OX ( horizontal) et OT ( vertical )  . Si on a pris soin de fixer à 1 la valeur de la vitesse limite " c " ( choix d'unités "ad hoc" ), alors la vitesse limite sera illustrée  par la bissectrice de OX et OT, à 45 degrés de chacun, donc . ( Dans le cas Minkowskien complet XYZT, on appelle cette notion le "cône de lumière", je crois ...) Les trajectoires issues de O et admissibles sont au dessus de la bissectrice ( vitesse inférieure à la vitesse limite ) . Prudemment, je n'évoque pas la partie gauche de la figure ( en principe, ce devrait être symétrique, mais bon faisons simple ...) . Sur cette même figure, comment peut-on alors illustrer les nouveaux axes de coords OX' et OT' ? Ils ne sont pas obtenus par une rotation mais par une transformation de Lorentz (2D), chacun des nouveaux axes OX' et OT' sera "incliné" par rapport à l'ancien axe correspondant, ET ( point important!) leur bissectrice sera LA MÊME que pour les anciens axes de coords . Pourquoi la même ? Parce la vitesse limite est la même pour les deux "référentiels", autrement dit l'équation de cette bissectrice commune aux deux systèmes de coordonnées est la même dans les deux systèmes, soit X = T  et pareillement X' = T' . On peut donc illustrer OX' et OT' symétriques par rapport à la bissectrice commune et ils ne sont pas orthogonaux ( angle inf ou sup à 90 degré, et attention aussi au fait que les échelles VISUELLES sur les axes anciens d'une part et nouveaux d'autre part  sont affectées et seront différentes VISUELLEMENT ).

Pour faire la manip analogue à "faire tourner la page autour de O" pour rendre OX' et OT' horizontaux et verticaux, ça se complique beaucoup bien sûr . Il ne s'agit plus de faire tourner la page ici . En fait il faut envisager une déformation continue assez compliquée de la figure . Si OX' et OT' font initialement un angle < 90 , l'effet de cette déformation est de les "écarter" de part et d'autre de la bissectrice jusqu'à ce que ces axes "nouveaux" ' deviennent perpendiculaires. Ce faisant, les anciens axes qui étaient perpendiculaires sont aussi "écartés" et vont faire un angle > 90 ( angle défini par les orientations positives des axes bien sûr ). Et l'analogue du cercle, globalement inchangé par la rotation ? Ici, ce doit être la courbe d'égale distance MINKOWSKIENNE à l'origine O : c'est une branche d'hyperbole située au-dessus de la bissectrice . Se peut-il que, comme pour le cas du cercle, elle soit GLOBALEMENT inchangée par la déformation continue envisagée ici ? Et ben oui, cette hyperbole est GLOBALEMENT conservée telle quelle . "Globalement" ça veut dire qu'un point donné de cette courbe se déplacera SUR LA COURBE ( initiale ) au cours de la déformation continue évoquée ici, et la courbe elle-même est inchangée ( comme pour le cercle et la rotation ....) . Mais là, je renonce à l'expliquer avec des mots ...

On trouve sur internet des illustrations où ces choses sont assez bien expliquées, avec des figures statiques mais c'est quand même très éclairant . L'idéal serait une animation en continu, il y a sûrement des gens assez dégourdis pour le faire ....

A noter que l'analogie euclidien/minkowskien est aussi utile pour "illustrer" graphiquement la propriété de distance minkowskienne MAXIMALE le long d'une géodesique ( entre deux points fixes ) mais seulement en 2D (X et T) et pour une trajectoire non géodésique vraiment basique, c.a.d. un "aller" non accéléré, puis une phase accélerée "instantanée" ( demi-tour), puis un" retour" non accéléré . Soit techniquement deux segments de géodésiques non alignés successifs, mis bout à bout . On se fait d'abord les dents en illustrant/expliquant la propriété de distance euclidienne MINIMALE à l'aide de deux cercles centrés respectivement sur chacun des 2 points extrêmes ( et qui se font face donc ). Quand c'est tout à fait clair, on passe au cas minkowskien 2D avec deux branches d'hyperboles dont les creux se font face, à la place des cercles . Cela peut demander quelques tatonnements mais c'est très éclairant . Cela dit ça ne remplace pas une véritable démonstration analytique valable dans le cas minkowskien "complet" ( 4 dim : XYZT ) et qui ne fait aucune hypothèse sur la nature géométrique de la trajectoire "non géodésique" .

Si ces notions vous sont familières, vous me pardonnerez la longueur de ma réponse, sinon j'espère que ce texte pourra éventuellement éclairer quelques aspects ...