Matrices de Pauli et générateurs d'isométrie(s) pour la métrique de Minkowsky

Quelques petites imprécisions rédactionnelles ont été corrigées le 1-12-2020 .

1ere partie : matrices de Pauli et diverses propriétés classiques .

Je rappelle les expressions des matrices de Pauli :

                        0    1                                   0   -i                                  1    0

p₁ = (1/2) .    1    0    ;      p₂ = (1/2) .    i     0   ;     p₃ = (1/2) .    0   -1

"i" est le nombre imaginaire usuel ( j' essaierai d'éviter cette lettre en indice ... ) .

Ces matrices sont souvent présentées sans le coefficient multiplicatif "1/2", je justifierai plus loin ce coefficient .

 Ces matrices ne commutent pas, leurs commutateurs satisfont les identités "cycliques" bien connues: 

[p₁,p₂]  = i.p₃

[p₂,p₃]  = i.p₁

[p₃,p₁]  = i.p₂

J'ai choisi d'inclure le coefficient multiplicatif "1/2" dans leurs définitions pour que les identités ci-dessus aient une évidente parenté avec les identités similaires en mécanique quantique, c'est tout .

Bien entendu, la physionomie cyclique de ces identités va de pair avec un choix d'indexation par un indice sélectionné dans un "pool" de trois symboles qui "se suivent naturellement" comme 1,2,3 ou encore x,y,z qui indexent parfois les opérateurs moments cinétiques ( qui ont les mêmes propriétés de commutation ) . Mais une indexation par deux indices est plus aisément généralisable ( c.a.d. applicable au cas où les opérateurs en question sont plus nombreux )

Pour un triplet de tels opérateurs, j'utiliserai indifféremment les deux indexations : à deux indices et/ou à un indice . Pour un triplet d'opérateurs "a" ayant ces propriétés de commutations ( comme les matrices de Pauli ) les correspondances suivantes seront toujours implicites :

a₂₃ = a₁

a₃₁ = a₂

a₁₂ = a₃

ainsi que la règle : a_jk = - a_kj   

_{( règle qui peut découler naturellement de la définition OU BIEN être imposée, par exemple si seul l'un des deux opérateurs est défini explicitement, alors l'autre est défini comme l'opposé du premier ) .}

Enfin, aucun de ces opérateurs n'aura ses deux indices égaux, bien sûr . Dans certaines sommations portant sur les indices, il peut être commode de poser : a_jj = 0 .

Ainsi, on vérifie aisément que pour trois opérateurs, les identités de commutations s'écrivent sous la forme unique :

[a_jk,a_jl] = i.a_kl

pour pour j,l,k entre 1 et 3 . 

Parmi les très nombreuses propriétés intéressantes qui accompagnent cette identité, la suivante va être utile ici :

Soit deux triplets d'opérateurs a₁,a₂,a₃ et b₁,b₂,b₃ tels que 

[a₁,a₂] = i.a₃  ;  [a₂,a₃] = i.a₁  ;  [a₃,a₁] = i.a₂   ,

[b₁,b₂] = i.b₃ ; [b₂,b₃] = i.b₁  ;  [b₃,b₁] = ib₂ 

ET les "a" commutent avec les "b" : [a_j,b_k] = 0 , pour tout j,k .

Alors le triplet d'opérateurs "c" défini par la somme terme à terme , soit : c_j = a_j + b_j , a la même propriété , soit :

[c₁,c₂] = i.c₃ ; [c₂,c₃] = i.c₁ ; [c₃,c₁] = i.c₂

Et si on fait la différence et non la somme ? Dans ce cas on a une AUTRE propriété au moins aussi intéressante , sinon davantage : 

[a₁-b₁,a₂-b₂] = i.(a₃+b₃)  etc ... et aussi [a₁-b₁,a₂+b₂] = i.(a₃-b₃) etc ....

( La vérification de ces propriétés est triviale ) . 

posant alors par définition 

e₂₃ = - e₃₂  = a₁ + b₁

e₃₁ = - e₁₃  = a₂ + b₂

e₁₂ = - e₂₁  = a₃ + b₃

e₄₁ = - e₁₄ = a₁ - b₁

e₄₂ = - e₂₄ =  a₂ - b₂

e₄₃ = - e₃₄  = a₃ - b₃

les identités de commutation prennent la forme unique

[e_jk,e_jl] = i.e_kl

pour pour j,l,k entre 1 et 4 . Par ailleurs, si deux paires d'indices "i,j" et "kl" n'ont aucune valeur commune, alors : [e_ij,e_kl] = 0 . Et toujours : e_jk = - e_kj 

Puisque les dénominations sont utiles, je choisis de nommer  quadripôle un tel ensemble d'opérateurs . Dans le cas des trois matrices de Pauli, je dirai "un tripôle" . La définition s'étend trivialement au " N-pôle" ( ou N-pôles ? ) . ATTENTION le nombre "N" ( ou "4" pour quadripôle, "3" pour tripôle ... ) NE FAIT PAS référence au nombre d'opérateurs concernés , il fait référence au nombre de symboles différents requis par l'indexation "à deux indices" . OK ?

Une propriété importante qui sera exploitée ici :

si " e " est un N-pôle(s) et si T est une matrices complexe ou réelle et INVERSIBLE, alors les entités " f " définies par f_jk = T^-1.e_jk.T

constituent aussi un N-pôle(s) ( mêmes identités de commutation )

2ème partie : lien avec les matrices "génératrices infinitésimales" d'isométries pour la métrique de Minkowsky .

 Le texte http://tarentedusoir.over-blog.com/2018/12/metrique-de-minkovsky-tenseur-metrique-constant.html expose la recherche de la matrice jacobienne isométrique pour la métrique de Minkowsky sous la forme exp(λ.A) où la matrice A est de la forme :

           0     a     b    c

           a     0     d    e

           b   -d     0     f

A   =   c    -e    -f     0

Dans le même texte sont introduites six matrices : trois symétriques L1,L2,L3 et trois antisymétriques R1,R2,R3 , telles que 

A = a.L1 + b.L2 + c.L3 + f.R1 - e.R2 + d.R3

Le "lien" avec les matrices de Pauli est fait en plusieurs étapes .

On construit une matrice 4x4 P₁ en plaçant la matrice 2x2 p₁ dans le quart supérieur gauche et le quart inférieur droit . On construit de même P₂ et P₃ à l'aide de p₂ et p₃ respectivement . Les matrices P₁,P₂,P₃ vérifie les mêmes identités de commutation que les matrices de Pauli 2x2 ( vérification triviale ) .

On introduit une matrice  [2<->3] ( c'est ainsi que je la note ) . Sa fonction est de multiplier une matrice "cible" par la droite, la gauche ou des deux cotés . Appliquée à droite elle permute les colonnes 2 et 3 , appliquée à gauche elle permute les lignes 2 et 3 . Appliquées des deux cotés, elle permute évidemment lignes et colonnes .

                          1   0   0   0

                          0   0   1   0

                          0   1   0   0 

[2<->3]   =      0   0   0   1

A noter que la matrice [2<->3] est sa propre inverse : [2<->3]^-1

=[2<->3] . Ainsi une expression du type [2<->3].matrice.[2<->3] peut aussi s'écrire [2<->3]^-1.matrice.[2<->3]

Définissons un 2ème tripôle de matrices 4x4  " P' " :

P'₁= [2<->3].P₁.[2<->3]

P'₂= [2<->3].P₂.[2<->3]

P'₃= [2<->3].P₃.[2<->3]

P'₁,P'₂ et P'₃ constituent bien un tripôle ( vérification simple, là encore ) .

Une propriété remarquable : les "P" et les " P' " commutent entre eux : [ P_j,P'_k ] = 0 , pour j,k entre 1 et 3 .

Puis, on définit un quadripôle " Π " , et donc on adopte d'emblée la notation à deux indices ( voir plus haut pour la définition "maison" d'un quadripôle ) :

Π₂₃ = P₁ + P'₁

Π₃₁ = P₂ + P'₂

Π₁₂ = P₃ + P'₃

Π₄₁ = P₁ - P'₁

Π₄₂ = P₂ - P'₂

Π₄₃ = P₃ - P'₃

Ensuite, on introduit une matrice Ω ( explicitée ci-dessous ainsi que son inverse ) :

                           0    -1     i     0                                         0    -1      1     0

                          -1     0    0     1                                         -1     0     0     1

                           1     0     0     1                                         -i     0     0    -i

Ω  =  2^-1/2 .      0     1      i     0       ;    Ω^-1 =  2^-1/2 .       0     1      1     0

( On constate que Ω^-1 est la transposée ET conjuguée de Ω )

Enfin, on construit un quadripôle " Λ "comme suit : 

Λ_jk  =  Ω^-1. Π_jk . Ω

(D'après la remarque faite dans la 1ère partie, les Λ_jk

satisfont les mêmes identités de commutation que les Π_jk ).

( Ici, je rédigerai les résultats dès que j'aurai le temps ....)

Comparant les matrices Λ_jk avec les matrices L₁,L₂,L₃ et R₁,R₂,R₃ mentionnées au début de cette 2ème partie du texte :

Λ₄₁ = L₁          Λ₂₃ = -i.R₁

Λ₄₂ = L₂          Λ₃₁ = -i.R₂

Λ₄₃ = L₃          Λ₁₂ = -i.R₃ 

....... en cours de rédaction ...