transform-coords-isométrique

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Tentative de définition "satisfaisante" pour une transformation de coordonnées isométrique dans le cas général :

AVERTISSEMENT AU LECTEUR :


Le texte qui suit est un "premier jet" , très incomplet , Il n'a aucune ambition particulière hormis d'exposer ce que JE souhaite invoquer par ailleurs dans d'autres textes . Les propriétés citées ne sont pas garanties : JE PENSE qu'elles sont correctes . Certaines choses sont faciles à démontrer , d'autres pas du tout faciles . C'est donc un peu "conjectural" .


Si les résultats qui suivent sont incorrects , j'espère m'en rendre compte rapidement bien sûr . S'ils sont corrects ( je le pense ) et UTILES en général, alors ils sont CERTAINEMENT classiques et bien mieux exposés ailleurs ( et avec une autre terminologie ... ) .


 S'ils sont corrects et INUTILES en général, et bien ... ils sont peut-être quand même mieux présentés ailleurs ...


Dans tous les cas, vous aurez compris que la terminologie est "maison" ici . Elle ne vous plaît pas ? Pas de problème, vous pouvez en choisir une autre !

Et je tâcherai d'améliorer la mise en page dès que possible .

 

**************************

Un espace à N dimensions .


Un système de coordonnées sera désigné par une lettre majuscule ( avec ou sans "prime" ) coiffée d'un "chapeau" ( accent circonflexe )
exemples :  Ŷ  ,  Ŷ'  ,  Û  ,  Û' .....
( l'apostrophe  ' ne désignera jamais une dérivée  )

je n'utiliserai que la lettre générique "M" pour désigner un point de l'espace . exemples : M  , M1   , M' ...


Les N coordonnées d'un point dans un système de coordonnées quelconque seront écrites à l'aide de l'expresssion générique "Nup" ( pour N-uplet ), éventuellement indexée : Nup , Nup1 , Nup2 ....


A chaque système de coordonnées seront implicitement associées 2 "fonctions" . Par exemple pour le sytème Ŷ , ces fontions seront  Ŷ(..)  et PŶ(..) telles que :


Pour tout point M , Ŷ( M ) est le N-uplet des coordonnées " Ŷ " de M .
Pour tout N-uplet " Nup " , PŶ ( Nup ) est le point de l'espace dont les coordonnées " Ŷ " sont le N-uplet " Nup " 
Simple .
J'utiliserai le symbole " rond " ( ici, en fait, ce sera un "o" minuscule ) pour la composition de "fonctions" .

Avec ces définitions : 
pour tout point M ,  PŶ o Ŷ ( M ) = M     ( identité )
et pour tout N-uplet Nup , Ŷ o PŶ ( Nup ) = Nup ( identité )


Par ailleurs, la transformation EFFECTIVE des coordonnées "Ŷ" vers les coordonnées "Û" peut s'écrire symboliquement :  Û o PŶ ( Nup ) . le N-uplet "Nup" en entrée tient ici le rôle des coordonnées "Ŷ" et le N-uplet résultat tient conjointement le rôle des coordonnées "Û" . Simple .


Dans ces notations, le point "M" de l'espace ( en lui même, autant qu'en entrée ou sortie de fonctions diverses ) est un intermédiaire abstrait . En conséquence, seules les compositions de fonctions dont entrée ET sortie sont des N-uplets sont explicitables dans un système de coordonnées de son choix . Ca tombe sous le sens , je pense ....


Pour désigner une transformation de coordonnées Ŷ VERS Ŷ' , j'adopte la notation suivante : { Ŷ -> Ŷ' } .
Pareillement , on pourra avoir { Ŷ -> Û } ,  { Û -> Ŷ' } , { Û' -> Ŷ' } etc ...

J'adopterai également une notation concise spécifique pour la matrice jacobienne ( je la prépare ...)

                                      *************

Quelques définitions "maisons" :

DEF 1 :

{ Ŷ -> Ŷ' } est une transformation de coordonnées , de même { Û->Û' }
Je dirai que que { Ŷ -> Ŷ' }  et { Û->Û' } sont en cohérence mutuelle si et seulement si :
PŶ o Ŷ' (M) =  PÛ o Û' (M) , pour tout point M .   
[1]

C'est équivalent à :
Û o PŶ o Ŷ' (M) =  Û'(M) , pour tout point M 
 [2]

et à :
Û o PŶ o Ŷ' o PÛ ( Nup ) = Û' o PÛ (Nup ) , pour tout N-uplet "Nup"   
[3]

Bien entendu, PŶ o Ŷ' et PŶ' o Ŷ sont réciproques l'un de l'autre : 
PŶ o Ŷ' o PŶ' o Ŷ (M) = PŶ' o Ŷ o PŶ o Ŷ' (M) = M, pour tout M . Même propriété avec des PÛ , Û' , PÛ' , Û etc ....

Par ailleurs, on déduit de la définition les relations :

Ŷ' o PÛ' (Nup) = Ŷ o PÛ (Nup)      [4] 
et
Û' o PŶ' (Nup) = Û  o PŶ (Nup)     [5]
 
Commentaire sur l'identité [5]  :

 

Le terme de gauche représente l'ensemble des fonctions de transformations des coordonnées Y'  en coordonnées U' . Pour le terme de droite, ce sont les transformations de coords Y en U . [5] exprime que les N formes explicites à gauche sont identiques deux à deux aux N formes explicites à droite . Si l'on fait abstraction du contexte de l'espace constitué de points "M" , cela se ramène à UN SEUL jeu de N formes explicites de fonctions ( explicitées en "Nup" ) , ni plus ni moins . Mais si on tient compte du contexte de l'espace des points "M", des divers systèmes de coordonnées en présence etc.. , il faut se rappeler que les termes de gauche d'une part et ceux de droite, d'autre part, " ne vont pas avec " les mêmes points de l'espace, aussi bien en entrée ( Nup ) qu'en sortie . Le point de coords "Nup" dans les système Ŷ et le point de MÊMES coords "Nup" dans le système Û ( ou Ŷ', ou  Û' .. ) sont deux points DISTINCTS, bien sûr ! Un commentaire analogue vaut pour [4]

On peut déduire de [5], une égalité entre deux matrices jacobiennes . Sans se référer à l'espace des points "M", cela revient évidemment à dériver chacune des N formes explicites de [5] par rapport à chaque composante du n-uplet "Nup". En tenant compte des rôles de "Nup" dans chaque système de coordonnées, on obtient une égalité entre deux matrices jacobiennes évaluées en deux points distincts de l'espace . 
Si je dispose de deux systèmes de coordonnées Ŷ et Û , je noterai [ ∂Ûli / ∂Ŷco] la matrice jacobienne dans laquelle le terme de ligne "j" et de colonne "m" est : ∂Uj / ∂Ym . 
Une notation "en quotient vertical" pour la dérivée serait souhaitable ici, mais, je ne sais pas le faire . Par ailleurs, les N-1 quantités constantes ( et mutuellement indépendantes ) requises pour définir chaque dérivée partielle sont celles "par défaut" : la dérivée versus Ym  est à tous les autres "Y" constants .
Avec cette notation, la transposée de [ ∂Ûli / ∂Ŷco] est [ ∂Ûco / ∂Ŷli] . 
Enfin, il convient de mentionner le point de l'espace en lequel cette matrice est évaluée/exprimée, comme suit entre parenthèses : [ ∂Ûli / ∂Ŷco] (M)

Avec ces notations, on déduit de [5] et [1] :

[ ∂Û'li/ ∂Ŷ'co] (M) = [ ∂Ûli/ ∂Ŷco] ( PŶ o Ŷ'(M) ) = 
[ ∂Ûli/ ∂Ŷco] ( PÛ o Û'(M) )          [6]
 
qui exprime l'égalité entre deux matrices jacobiennes évaluées en deux points DISTINCTS de l'espace : d'une part M et d'autre part le point PÛ o Û'(M)  ( ou PŶ o Ŷ'(M), c'est équivalent d'après [1] ) .


                                   ****
DEF2 : 


{ Ŷ -> Ŷ' } est une transformation de coordonnées .
 J'appelle classe de cohérence associée à { Ŷ -> Ŷ' } , l'ensemble des transformations de coordonnées { Û -> Û' } en cohérence mutuelle avec { Ŷ -> Ŷ' } .

Et, du coup, si { Ŷ -> Ŷ' } et { Û ->Û' } sont en cohérence mutuelle, la classe de cohérence associée à { Ŷ -> Ŷ' } est aussi celle associée à { Û -> Û' } , et réciproquement . D'accord ?
                                    ****


L'espace est doté d'une métrique qui prend la forme d'un tenseur métrique ( une matrice donc ) spécifique dans un système de coordonnées donné ( mettons : Ŷ  ) . Les coefficients de ce tenseur métrique sont par ailleurs des fonction du point " M " de l'espace et peuvent si besoin être explicités dans le système de coordonnées de son choix . Ce système peut être Ŷ ( le système associé au tenseur lui-même ) .... ou un AUTRE système de coordonnées : rien ne l'interdit, les deux choses sont indépendantes .

Le tenseur métrique ( une matrice donc ) sera de fait fonction du système de coordonnées choisi pour le définir, et du point M de l'espace où ses coefficients sont évalués .


Pour le tenseur métrique dans le système Ŷ et au point M, j'adopte la notation suivante : 
G ( Ŷ ¦ M )  
 ( "G" ou "g" est un choix répandu pour désigner un tenseur métrique ) .

DEF 3 :


Je dirai que la transformation de coordonnées { Ŷ -> Ŷ' } est isométrique pour la métrique "G" si et seulement si :
G[ Ŷ' ¦ PŶ'(Nup) ] = G[ Ŷ ¦ PŶ(Nup) ]  , pour tout N-uplet Nup  .
[7] .


C'est équivalent à :
G[ Ŷ' ¦ M ] = G[ Ŷ ¦ PŶ o Ŷ' (M)  ] , pour tout point M     
[8]

                     ****

Propriété : 
Si { Ŷ -> Ŷ' }  et { Û->Û' } sont en cohérence mutuelle et si { Ŷ -> Ŷ' } est isométrique pour la métrique "G" , alors { Û->Û' }  l'est aussi .


Autrement dit si { Ŷ -> Ŷ' }  et { Û->Û' } sont en cohérence mutuelle , alors :
G[ Ŷ' ¦ PŶ'(Nup) ] = G[ Ŷ ¦ PŶ(Nup) ] pour tout Nup entraine :
G[ Û' ¦ PÛ'(Nup) ] = G[ Û ¦ PÛ(Nup) ] pour tout Nup .
Et réciproquement .

La propriété d'isométrie ainsi définie est donc associée à une classe de cohérence ( voir plus haut  DEF2 ) et pas seulement à UN changement de coordonnées .

Démonstration : 

En appliquant la règle de "reconstruction" du tenseur métrique lors d'un changement de coordonnées, on déduit de [8] l'égalité : 

[ ∂Û'co/ ∂Ŷ'li] (M) * G[ Û' ¦ M ] * [ ∂Û'li/ ∂Ŷ'co] (M) =
[ ∂Ûco/ ∂Ŷli] (PŶ o Ŷ' (M)) * G[ Û ¦ PŶ o Ŷ' (M)] * [ ∂Ûli/ ∂Ŷco] (PŶ o Ŷ' (M))

Et d'après [6] et [1], on déduit :

G[ Û' ¦ M ] = G[ Û ¦ PÛ o Û' (M)] , analogue à [8] et donc { Û->Û' } est également isométrique pour la métrique G . 

 

Cas d'un tenseur métrique constant .

Supposons que, dans le système de coordonnées Ŷ ,le tenseur métrique G[ Ŷ ¦ M ] est constant ( c.a.d. ses coefficients ne dépendent pas du point de l'espace ) . Si on exige que le changement de coordonnées { Ŷ -> Ŷ' } soit isométrique, alors le tenseur métrique dans le système de coordonnées Ŷ' , soit G[ Ŷ' ¦ Pt quelconque ] doit être constant et égal à G[ Ŷ ¦ Pt quelconque ] d'après [8] . Dans ce cas, désignons-les simplement par G .

Le système Ŷ est supposé connu, je fais du système Ŷ' l'inconnue du problème et je pose que Ŷ' dépendra continûment d'un paramètre additionnel λ, et que Ŷ et Ŷ' seront identiques pour λ = 0  (  Si vous préférez : Ŷ' ( λ ) avec Ŷ' ( 0 ) = Ŷ  )  .
En conséquence, pour λ = 0, les matrices [ ∂Ŷco/ ∂Ŷ'li] (..., λ = 0) et sa transposée [ ∂Ŷli/ ∂Ŷ'co] (...,λ = 0) sont la matrice identité . Puisqu'un nouveau paramètre λ est introduit, je précise que les dérivées partielles de la matrice jacobienne sont implicitement à λ constant . 

De [8], on déduit : 

[ ∂Ŷli/ ∂Ŷ'co](M,λ) * G * [ ∂Ŷco/ ∂Ŷ'li](M,λ) = G 

Au sujet de la matrice jacobienne  [ ∂Ŷco/ ∂Ŷ'li] :
D'abord, dans cet exemple "G constant", je la noterai "J", c'est plus simple .
Ensuite, j'exclus d'emblée une variation spatiale de cette matrice à λ non nul fixé . Une telle variation signifierait des dérivées partielles spatiales non nulles pour la matrice et donc des dérivées secondes non nulles des coordonnées d'un système par rapport aux coordonnées de l'autre systèmes ( à λ non nul fixé ) . Je n'ai pas maintenant sous la main d'arguments mathématiques précis pour exclure une variation spatiale mais, à l'intuition, je pense que les géodésiques ne pourraient plus toutes être des "droites analytiques" dans le système Ŷ' si la matrice jacobienne n'était plus constante ( à λ non nul fixé, bien sûr ). J'y reviendrai si je trouve des arguments précis ( et simples ) . J(λ) donc .
Enfin, je ne m'attarde pas au cas ou la matrice jacobienne est l'identité pour tout λ . Dans le cas présent ( G constant ), cela correspond à générer Ŷ' par simple translation de Ŷ ( translation dépendante de λ ) . Je porte mon attention sur une modification continue du système de coordonnées telle que J change EFFECTIVEMENT .
 

( "droite analytique" dans un système de coordonnées donné est l'expression que j'avais adoptée dans un des textes de la page MathonLaveur pour désigner une "courbe" qui admet  dans ce système des représentations paramétriques constituées de fonctions affines du paramètre )

L'identité qui précède s'écrit donc : 

J(λ)T  *  G  *  J( λ)  =  G               [9] 

Dérivons versus λ : 

∂( J(λ)T)/∂λ * G * J( λ)  +  J( λ)T * G *  ∂J(λ)/∂λ = 0    [10]

Je cherche J(λ) sous la forme d'une exponentielle d'argument matriciel simple .
Je rappelle que l'exponentielle d'un opérateur Op est :
exp(Op) = Id + Op + Op2/2 + Op3/3! +. . . . +  Opn/n! + . . . .  ( où Id est l'opérateur Identité )

Une expression formellement semblable au développement en série infinie de l'exponentielle d'un nombre réel ou complexe .

Ici, l'opérateur argument de l'exponentielle sera une matrice NxN .
Question : dans le cas d'une matrice dépendant d'un paramètre λ ( mettons : Mat(λ) ) , a-t-on la propriété suivante : 
∂[ exp( Mat(λ) ) ]/∂λ = ∂ [Mat(λ) ]/∂λ * exp( Mat(λ) )    ?

En général, la réponse est NON, bien sûr ! Car Mat(λ) et sa dérivée ∂ [Mat(λ) ]/∂λ sont deux matrices et ne commutent pas forcément entre elles . Si elles commutent entre elles, la propriété est assurée par contre ( même chose pour l'exponentielle d'un opérateur continu ) .

Posons : J(λ) = exp( λA ) , l'argument est simplement le produit de la variable réelle λ par une matrice constante A . A commute évidemment avec exp( λA ) et donc :
∂[ exp( λA ) ]/∂λ = A * exp( λA )  .

de [10] , on obtient :

exp(λA)T * AT * G * exp(λA) + exp(λA)* G * A * exp(λA) = 0     [11]

d'où l'on déduit :  AT * G + G * A = 0 , c'est à dire :
( G*A )T  +  G*A = 0    [12]
G étant une matrice symétrique, le terme de gauche ici est la somme d'une matrice et de sa transposée . 
Si la somme d'une matrice et de sa transposée est nulle, la matrice en question est antisymétrique . Donc G*A est antisymétrique ( [13] ).
 

Deux exemples très simples ( en 2D ) :

Exemple 1 : tenseur métrique "euclidien" 
           1   0 
G =    0   1
Ici, G * A = A , A doit donc être antisymétrique . Posons : 
            0   1
A   =  -1   0

d'où A2 = Id  ;  A3 = -A  ;  A4 = -Id   etc ....

et donc  exp(λA) =
1 - λ2/2! + λ4/4! + ...           λ - λ3/3! + ....                      cos(λ)    sin(λ)   
- λ + λ3/3! + ...                  1 - λ2/2! + λ4/4! + ...     =    -sin(λ)    cos(λ)

 

Exemple 2 : tenseur métrique "minkovskien" ( réduit en 2 dimensions ) 

             1      0
G   =    0     -1
G * A doit être antisymétrique, donc A doit être symétrique et de diagonale nulle . 
                                0     1
posons :    A   =     1     0

d'où A2 = Id  ;  A3 = A  ;  A4 = Id   etc ....

On obtient aisément :   exp(λA) =
1 + λ2/2! + λ4/4! - ...           λ + λ3/3! + ....                      ch(λ)    sh(λ) 
+ λ + λ3/3! + ...                  1 + λ2/2! + λ4/4! - ...     =    sh(λ)    ch(λ)

qui est, comme prévu la transformation de Lorentz 2D sous sa forme "trigonométrique hyperbolique"

Exemple 3 : tenseur métrique "minkovskien", 4 dimensions 

texte séparé : 

http://tarentedusoir.over-blog.com/2018/12/metrique-de-minkovsky-tenseur-metrique-constant.html

*********** A SUIVRE ******************

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